Zafran Matematika Kelas 9 178 5 3/26/2025
Matematika Kelas 9
Zafran @zafran17 March 26, 2025 178 5

Panduan Penulisan yang Dipakai:

  • Bilangan desimal ditandai dengan titik, contoh: 1.7, 3.14, 2.17, dan 5.3999....
  • Simbol pemisah ribuan tidak digunakan, seribu ditulis 1000, dua ribu lima ratus ditulis 2500, satu juta ditulis 1000000.
Klik untuk melihat pelajaran semester sebelumnya

I—Bangun Ruang§

1. Bangun Ruang Sisi Datar

A. Kubus

Kubus adalah bangun ruang dengan sisi yang saling kongruen (sama besar), dan rusuk yang sama panjang.

  • Memiliki 8 titik sudut siku-siku
  • Memiliki 12 rusuk
  • Memiliki 6 sisi
  • Memiliki 12 diagonal sisi
  • Memiliki 4 diagonal ruang
  • Memiliki 6 bidang diagonal

$$ V = s^3 $$

  • $V$ = volume
  • $s$ = rusuk

$$ L_p = 6s^2 $$

  • $L_p$ = luas permukaan

B. Balok

  • Memiliki 8 titik sudut siku-siku
  • Memiliki 3 pasang (2) sisi yang kongruen
  • Memiliki 3 pasang (4) rusuk yang sama panjang
  • Memiliki 3 pasang (4) diagonal sisi
  • Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang
  • Memiliki 3 pasang (2) bidang diagonal

$$ V = plt $$

  • $p$ = panjang
  • $l$ = lebar
  • $t$ = tinggi

$$ L_p = 2(pl + pt + lt) $$

C. Prisma

Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang berhadapan yang kongruen dan sejajar, serta bidang lain yang berpotongan menurut rusuk-rusuk yang sejajar.

$$ V = L_at $$

  • $L_a$ = luas alas prisma
  • $t$ = tinggi prisma

$$ L_p = 2L_a + K_at $$

  • $K_a$ = keliling alas prisma

D. Limas

Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang segi-n pada alasnya dan beberapa buah bidang segitiga sebagai bidang tegak yang berkumpul menjadi satu pada titik puncak.

$$ V = \frac{1}{3} L_a t $$

$t$ = tinggi limas

$$ L_p = L_a + L_{bt} $$

$L_{bt}$ = total luas bidang tegak

2. Bangun Ruang Sisi Lengkung

A. Tabung

B. Kerucut

C. Bola

II—Transformasi Geometri§

A. Translasi (Penggeseran)

Sesuai namanya, geser-geser.

Banyak notasi untuk transformasi, berikut beberapa;

$$ (x,y) \xrightarrow[]{T\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}} (x+a, y+b) $$

$$ T_{[a,b]}(x,y) \rightarrow (x+a, y+b) $$

$$ T\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}(x,y) \rightarrow (x+a, y+b) $$

  • $x' = x+a$
  • $y' = y+b$

B. Rotasi (Perputaran)

Pada bab ini, hanya belajar perputaran pada titik pusat $O(0, 0)$. Rotasi yang dimaksud adalah rotasi berlawanan arah jarum jam.

putar-putar coy

Rotasi pada titik pusat $(0,0)$ dan sudut rotasi $\theta$,

$$ R_{[(0,0), \theta]}(x, y) \rightarrow (x \cos(\theta) - y \sin(\theta), x \sin(\theta) + y \cos(\theta)) $$

  • $x' = x \cos(\theta) - y \sin(\theta)$
  • $y' = x \sin(\theta) + y \cos(\theta)$

dengan rotasi matriks: $$ \begin{bmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin{\theta} & \cos(\theta)\end{bmatrix} $$

Untuk rotasi $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$:

1. Rotasi 90°

$$ R_{[(0,0), 90^\circ]}(x, y) \rightarrow (-y, x) $$

  • $x' = -y$
  • $y' = x$
Klik untuk melihat penyelesaian

$$ \begin{align*} R_{[P, \theta]}(x, y) &\rightarrow (x \cos(\theta) - y \sin(\theta), x \sin(\theta) + y \cos(\theta)) \\ R_{[(0,0), 90^\circ]}(x, y) &\rightarrow (x \cos(90^\circ) - y \sin(90^\circ), x \sin(90^\circ) + y \cos(90^\circ)) \\ &\rightarrow (x (0) - y (1), x (1) + y (0)) \\ &\rightarrow (-y, x) \end{align*} $$

2. Rotasi 180°

$$ R_{[(0,0), 180^\circ]}(x, y) \rightarrow (-x, -y) $$

  • $x' = -x$
  • $y' = -y$
Klik untuk melihat penyelesaian

$$ \begin{align*} R_{[P, \theta]}(x, y) &\rightarrow (x \cos(\theta) - y \sin(\theta), x \sin(\theta) + y \cos(\theta)) \\ R_{[(0,0), 180^\circ]}(x, y) &\rightarrow (x \cos(180^\circ) - y \sin(180^\circ), x \sin(180^\circ) + y \cos(180^\circ)) \\ &\rightarrow (x (-1) - y (0), x (0) + y (-1)) \\ &\rightarrow (-x, -y) \end{align*} $$

3. Rotasi 270° (atau -90°)

$$ R_{[(0,0), 270^\circ]}(x, y) \rightarrow (y, -x) $$

  • $x' = y$
  • $y' = -x$
Klik untuk melihat penyelesaian

$$ \begin{align*} R_{[P, \theta]}(x, y) &\rightarrow (x \cos(\theta) - y \sin(\theta), x \sin(\theta) + y \cos(\theta)) \\ R_{[(0,0), 270^\circ]}(x, y) &\rightarrow (x \cos(270^\circ) - y \sin(270^\circ), x \sin(270^\circ) + y \cos(270^\circ)) \\ &\rightarrow (x (0) - y (-1), x (-1) + y (0)) \\ &\rightarrow (y, -x) \end{align*} $$

C. Refleksi (Pencerminan)

1. Terhadap sumbu x

$$ M_x(x,y) \rightarrow (x, -y) $$

  • $x' = x$
  • $y' = -y$

2. Terhadap sumbu y

$$ M_y(x,y) \rightarrow (-x, y) $$

  • $x' = -x$
  • $y' = y$

3. Terhadap garis x=h (∀h)

$$ M_{x=h}(x,y) \rightarrow (2h-x, y) $$

  • $x' = 2h-x$
  • $y' = y$

4. Terhadap garis y=k (∀k)

$$ M_{y=k}(x,y) \rightarrow (x, 2k-y) $$

  • $x' = x$
  • $y' = 2k-y$

5. Terhadap garis y=x

$$ M_{y=x}(x,y) \rightarrow (y, x)$$

  • $x' = y$
  • $y' = x$

6. Terhadap garis y=-x

$$ M_{y=-x}(x,y) \rightarrow (-y, -x) $$

  • $x' = -y$
  • $y' = -x$

D. Dilatasi

Seperti rotasi, pada bab ini hanya mempelajari dilatasi pada titik pusat $(0,0)$.

Dilatasi dengan skala $k$,

$$ D_{[(0,0), k]}(x,y) \rightarrow (kx, ky) $$

  • $x' = kx$
  • $y' = ky$

III—Kesebangunan dan Kekongruenan pada Bangun Datar§

A. Kesebangunan

Kesebangunan adalah [to be continued].

1. Segitiga yang Sebangun

Segitiga Sebangun

Kedua segitiga tersebut sebangun ($\triangle ABC \sim \triangle PQR$), karena:

  • $\angle A = \angle R = 60^\circ$
  • $\angle B = \angle P = 40^\circ$
  • $\angle C = \angle Q = 80^\circ$

Sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut:

  • $AB \rightarrow PR$
  • $BC \rightarrow PQ$
  • $AC \rightarrow QR$

Perbandingan yang sama besar: $$ \frac{AB}{PR} = \frac{BC}{PQ} = \frac{AC}{QR} $$

IV—Peluang§

A. Populasi dan Sampel§

Populasi adalah seluruh objek penelitian.

Sampel adalah sebagian objek dari populasi.

$$ \text{sampel} \subset \text{populasi} $$

Berikut contoh dari populasi dan sampel.

B. Konsep Peluang§

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin. Dilambangkan dengan $S$ atau $\Omega$.

Titik sampel merupakan anggota dari ruang sampel.

$$ \text{titik sampel} \in S $$

1. Cara Menentukan Ruang Sampel

  1. Diagram pohon.
  2. Tabel.
  3. Mendata.

2. Nilai Peluang

i. Secara Empiris

Frekuensi relatif adalah perbandingan antara munculnya kejadian dan banyak percobaan.

$$ \text{frekuensi relatif} = \frac{\text{banyak kejadian yang muncul}}{\text{banyak percobaan}} $$

ii. Secara Teoritis

Peluang secara teoritis adalah perbandingan antara nilai kemungkinan suatu percobaan dengan seluruh hasil yang mungkin dari percobaan tersebut.

$$ \mathcal{P}(X) = \frac{n(X)}{n(S)} $$

  • $\mathcal{P}(X)$ adalah peluang terjadi $X$.
  • $X$ adalah himpunan semua kejadian yang diteliti.
  • $X \subset S$.
  • $0 \leq \mathcal{P}(X) \leq 1$.
  • Semakin besar $\mathcal{P}(X)$ maka akan semakin sering $X$ itu terjadi.
  • Sebaliknya semakin kecil $\mathcal{P}(X)$ maka akan semakin jarang $X$ terjadi.
  • Jika $\mathcal{P}(X) = 1$ maka kejadian $X$ itu pasti.
  • Sebaliknya, jika $\mathcal{P}(X) = 0$ maka kejadian $X$ itu tidak mungkin.
  • $\mathcal{P}(S) = 1$.
  • $\mathcal{P}(\emptyset) = 0$.
  • $\mathcal{P}(X)$ dapat berbentuk pecahan, desimal, maupun persen.
  • $n(H)$ adalah jumlah anggota himpunan $H$.

Jika $A$ dan $B$ adalah kejadian yang independen (tidak saling bergantung dengan satu sama lain), maka:

Contoh:

Dilempar sebuah dadu bermata enam—$1, 2, 3, 4, 5,$ dan $6$—dengan sisi-sisi yang kongruen,

C. Frekuensi Harapan§

Frekuensi harapan adalah banyak kejadian yang diharapkan terjadi pada suatu percobaan jika dilakukan sekian kali.

$$ f_h(X) = \mathcal{P}(X) \times n $$

  • $f_h$ adalah frekuensi harapan.
  • $n$ adalah banyak percobaan.

V—Persamaan Kuadrat§

Bentuk umum:

$$ \begin{align*} ax^2 + bx + c &= 0 \\ (a &\neq 0) \end{align*} $$

A. Akar Penyelesaian Persamaan Kuadrat§

Ada 3 cara menyelesaikan persamaan kuadrat.

$$ (x-x_1)(x-x_2) = 0 $$

  • $x_1$ dan $x_2$ adalah nilai-nilai yang memenuhi $x$ dalam persamaan diatas, atau biasa disebut sebagai “akar persamaan.”

1. Memfaktorkan

i. Jika $a = 1$

$$ x^2 + 5x - 24 = 0 $$

Untuk menyelesaikan persamaan diatas, pertama-tama carilah dua angka yang jika dikali sama dengan $c$, dan jika ditambah sama dengan $b$.

$$ \begin{align*} \boxed{3} \times \boxed{-8} &= -24 \\ \boxed{3} + \boxed{-8} &= -5 \end{align*} $$

Didapatkan 3 dan −8, maka

$$ (x+\textcolor{green}{3})(x+\textcolor{green}{(-8)}) = 0 $$

Karena apapun jika dikali 0 hasilnya 0, maka antara

$$ x+3=0 $$

atau

$$ x-8=0\text{.} $$

Maka,

$$ \begin{align*} x+3 &= 0 \\ x+3-3 &= 0-3 \\ x &= -3 \;\llap{\boxed{\phantom{x = -3}}} \\ \end{align*} $$

atau

$$ \begin{align*} x-8 &= 0 \\ x-8+8 &= 0+8 \\ x &= 8 \;\llap{\boxed{\phantom{x = 8}}} \end{align*} $$

Maka $x = -3$ atau $x = 8$.

ii. Jika $a \neq 1$

$$ 2x^2 + 3x - 35 = 0 $$

Pertama-tama, carilah dua angka yang jika dikali sama dengan $a \times c$, dan jika ditambah sama dengan $b$.

$$ \begin{align*} \boxed{10} \times \boxed{-7} &= -35 \times 2 \\ &= -70 \\ \boxed{10} + \boxed{-7} &= 3 \end{align*} $$

Masukkan kembali kedua angka tersebut, menggantikan $3x$.

$$ \begin{align*} 2x^2 + 3x - 35 &= 0 \\ 2x^2 + (\textcolor{green}{10x - 7x}) - 35 &= 0 \end{align*} $$

Lalu faktorlah persamaan tersebut menjadi dua bagian.

$$ \begin{align*} 2x^2 + 10x - 7x - 35 &= 0 \\ (2x^2 + 10x) + (- 7x - 35) &= 0 \\ ([\textcolor{green}{2x} \cdot x] + [\textcolor{green}{2x} \cdot 5]) + ([\textcolor{green}{-7} \cdot x] + [\textcolor{green}{-7} \cdot 5]) &= 0 \\ \textcolor{green}{2x}(x + 5) + (\textcolor{green}{-7})(x + 5) &= 0 \\ (2x-7)(x+5) &= 0 \end{align*} $$

Maka,

$$ 2x-7 = 0 $$

atau

$$ x+5 = 0\text{.} $$

Selesaikan,

$$ \begin{align*} 2x-7 &= 0 \\ 2x-7\textcolor{red}{+7} &= 0\textcolor{red}{+7}\\ 2x \textcolor{red}{\times \frac{1}{2}} &= 7 \textcolor{red}{\times \frac{1}{2}} \\ x &= \frac{7}{2} \;\llap{\boxed{\phantom{x = \frac{7}{2}}}} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} x+5 &= 0 \\ x+5 \textcolor{red}{-5} &= 0\textcolor{red}{-5} \\ x &= -5 \;\llap{\boxed{\phantom{x = -5}}} \end{align*} $$

Maka,

$$ x \in \left\{-5, \frac{7}{2}\right\}\text{.} $$

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Berikut langkah-langkahnya.

  1. Pastikan koefisien $x^2$ = 1. $$ \begin{align*} ax^2 + bx + c &= 0 \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0 \\ x^2 + mx + n &= 0 \end{align*} $$
  2. Ubah persamaan dengan bentuk berikut. $$ \begin{align*} x^2 + mx + n &= 0 \\ x^2 + mx &= -n \end{align*} $$
  3. Tambah $\left(\frac{1}{2}m\right)^2$ di kedua ruas. $$ \begin{align*} x^2 + mx &= -n \\ x^2 + mx + \left(\frac{1}{2}m\right)^2 &= -n + \left(\frac{1}{2}m\right)^2 \end{align*} $$
  4. Faktorkan ruas kiri. $$ \begin{align*} x^2 + mx + \left(\frac{1}{2}m\right)^2 &= -n + \left(\frac{1}{2}m\right)^2 \\ \left(x+\frac{1}{2}m\right)^2 &= n + \left(\frac{m}{2}\right)^2 \end{align*} $$
  5. Selesaikan.

Contoh:

$$ \begin{align*} x^2 + 8x - 20 &= 0 \\ x^2 + 8x - 20 \textcolor{orange}{+20} &= 0 \textcolor{orange}{+20} \\ x^2 + 8x &= 20 \\ x^2 + 8x + \textcolor{orange}{\left(\frac{1}{2}\times 8\right)^2} &= 20 + \textcolor{orange}{\left(\frac{1}{2}\times 8\right)^2} \\ x^2 + 8x + \left(\frac{8}{2}\right)^2 &= 20 + \left(\frac{8}{2}\right)^2 \\ \textcolor{green}{x}^2 + 8x + (\textcolor{green}{4})^2 &= 20 + \left(4\right)^2 \\ \left(\textcolor{green}{x} + \textcolor{green}{4}\right)^2 &= 20 + 4^2 \\ \left(x + 4\right)^2 &= 20 + 16 \\ \left(x + 4\right)^2 &= 36 \\ \sqrt{\textcolor{e}{\left(x + 4\right)^2}} &= \sqrt{36} \\ \left|x+4\right| &= 6 \\ x + 4 &= \textcolor{orange}{\pm} 6 \\ x + 4 \textcolor{orange}{-4} &= \textcolor{orange}{-4} \pm 6 \\ x &= -4 \pm 6 \end{align*} $$

$$ \begin{align*} x &= -4 + 6 \\ x &= 2 \;\llap{\boxed{\phantom{x = 2}}} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} x &= -4 - 6 \\ x &= -10 \;\llap{\boxed{\phantom{x = -10}}} \end{align*} $$

Didapatkan $$ \boxed{x \in \left\{-10, 2\right\}}\text{.} $$

B. Fungsi Kuadrat§

Unsur-Unsur Grafik Fungsi Kuadrat

Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut!

$$ f(x) = 4 + 3x - x^2, (x \in \mathbb{R}) \land (-2 \leq x \leq 5) $$

atau dalam bahasa Indonesia

$$ f(x) = 4 + 3x - x^2 $$

untuk bilangan riil $x$ yang lebih kecil atau sama dengan $-2$ dan lebih besar atau sama dengan $5$

  • $\mathbb{R}$ adalah himpunan bilangan riil, yaitu semua bilangan yang dapat dipakai untuk mengukur kuantitas dimensi satu yang sinambung seperti jarak, durasi, atau suhu.KBBI

Pertama-tama, buatlah tabel $-x^2$, $3x$, dan $4$ untuk $-2 \leq x \leq 5$.

$x$ $-x^2$ $3x$ $4$ $f(x)$
$-2$ $-4$ $-6$ $4$ $-6$
$-1$ $-1$ $-3$ $4$ $0$
$0$ $0$ $0$ $4$ $4$
$1$ $-1$ $3$ $4$ $6$
$2$ $-4$ $6$ $4$ $6$
$3$ $-9$ $9$ $4$ $4$
$4$ $-16$ $12$ $4$ $0$
$5$ $-25$ $15$ $4$ $-6$
$\frac{3}{2}$ $\frac{9}{4}$ $\frac{9}{2}$ $4$ $6 \frac{1}{4}$

Kemudian buatlah grafik di bidang koordinat kartesius berdasar kolom $x$ dan $f(x)$ di atas.

Grafik f(x)

Dilihat dari gambar, dapat diketahui

  • sumbu simetrinya adalah $x=1.5$;
  • nilai maksimum fungsi adalah $6.25$;
  • titik balik maksimumnya adalah $(1.5, 6.25)$;
  • pembuat nol fungsi adalah $-1$ dan $4$; dan
  • daerah hasil (range) fungsi adalah $\left\{y \mid -6 \leq y \leq 6.25 \right\}$ atau dalam notasi interval $[-6, 6.25]$.

Tanpa perlu menggambar grafik, kita juga dapat mencari nilai-nilai unsur fungsi kuadrat.

Misalkan bentuk fungsi sebagai berikut.

$$ f(x) = ax^2 + bx + c, (a \neq 0) $$

i. Sumbu Simetri

Jika dilihat dari gambar, sumbu simetri berada di tengah-tengah titik pembuat nol fungsi. Nah, misalkan titik-titik pembuat nol fungsi adalah $x_1$ dan $x_2$, maka nilai tengah kedua titik tersebut adalah

$$ \frac{x_1 + x_2}{2}\text{.} $$

Menurut teorema Vieta, jumlah dari akar-akar persamaan kuadrat adalah

$$ -\frac{b}{a}\text{.} $$

Substitusikan $x_1 + x_2$ dengan $-\frac{b}{a}$,

$$ \begin{align*} \frac{x_1+x_2}{2} &= \frac{-\frac{b}{a}}{2} \\ &= -\frac{b}{a} \times \frac{1}{2} \\ &= \boxed{-\frac{b}{2a}}\text{.} \end{align*} $$

Maka didapat sumbu simetri fungsi adalah garis

$$ \boxed{x = \frac{x_1 + x_2}{2}} $$

atau garis

$$ \boxed{x = -\frac{b}{2a}}\text{.} $$

ii. Nilai Maksimum/Minimum Fungsi

Dilihat dari gambar, nilai maksimum/minimum ada pada sumbu simetri. Substitusikan $x$ dengan $-\frac{b}{2a}$ kepada fungsi $f$.

$$ f(x) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)\text{.} $$

Maka nilai maksimum/minimum fungsi adalah

$$ \boxed{f\left(-\frac{b}{2a}\right)}\text{.} $$

iii. Titik Balik Maksimum/Minimum

Titik balik maksimum/minimum berada pada $x$ sumbu simetri dan $y$ nilai maksimum/minimum. Maka

$$ (x, y) = \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\text{.} $$

iv. Pembuat Nol Fungsi

Pembuat nol fungsi adalah nilai $x$ yang membuat fungsi $f(x)$ menjadi $0$. Maka misalkan $f(x)$ dengan $0$.

$$ \begin{align*} f(x) &= 0 \\ ax^2 + bx + c &= 0\text{.} \end{align*} $$

Misalkan akar-akar fungsi $f$ adalah $x_1$ dan $x_2$

$$ (x - x_1)(x - x_2) = 0\text{.} $$

Maka pembuat nol fungsi adalah $x_1$ dan $x_2$, atau dengan kata lain, pembuat nol fungsi adalah akar-akar fungsi tersebut.

v. Daerah Hasil Fungsi

Misalkan $f(x)$ adalah fungsi dengan parabola terbuka ke atas (untuk parabola terbuka ke bawah, sebaliknya).

Misalkan $x$ dimana $p \lt x \lt q$.

Kita sudah tahu sumbu simetri dan titik minimum fungsi, kita harus mencari nilai maksimum fungsi dengan batasan yang diberikan.

Pilihlah $p$ atau $q$, tergantung yang mana yang lebih jauh dengan sumbu simetri. Jika sama, pilih saja salah satu.