Zafran P. W. Matriks 4 10/2/2025
Matriks
Zafran P. W. @zafranm2m October 2, 2025 4 0

$\newcommand{\b}[1]{\mathbf{#1}}$

Matriks adalah susunan bilangan (entri) dalam kolom dan baris, variabel matriks ditulis dengan huruf kapital tebal. Matriks dapat ditulis dengan $[\dots]$ atau $(\dots)$. Misalnya matriks $\b A$,

$$ \b A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ x & y & z \end{bmatrix}. $$

Matriks $\b A$ memiliki 2 baris dan 3 kolom, maka matriks $\b A$ berukuran (berordo) $2 \times 3$, atau dapat ditulis $\b A_{2\times3}$. Ukuran matriks $\b M$ ditulis sebagai $\b M_{\text{baris}\times\text{kolom}}$.

Matriks Persegi

Sebuah matriks disebut sebagai matriks persegi jika banyak baris dan banyak kolomnya sama, contohnya matriks $\b M_{3\times3}$,

$$ \b M = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}. $$

Matriks Identitas

Untuk matriks persegi $\b A$, ada sebuah matriks identitas $\b I$ yang di mana

$$ \b I \b A = \b A \b I = \b A. $$

Notasi $\b I \b A$ melambangkan perkalian matriks $\b I$ dan matriks $\b A$, (lihat: [[#Perkalian Matriks dengan Matriks]]).

Matriks identitas tersebut adalah matriks yang entri pada diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah) bernilai $1$, dan selainnya $0$.

Didapat identitas matriks $2\times2$ adalah

$$ \b I_{2\times2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. $$

Dan untuk identitas matriks $3\times3$ adalah

$$ \b I_{3\times3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. $$

Operasi Matriks

Notasi entri matriks $\b A$ pada baris $i$ dan kolom $j$ akan ditulis sebagai $\b A_{i,j}$, atau dapat dijabarkan sebagai berikut.

$$ \b A_{n \times m} = \begin{bmatrix} \b A_{1,1} & \b A_{1,2} & \b A_{1,3} & \cdots & \b A_{1,m} \\ \b A_{2,1} & \b A_{2,2} & \b A_{2,3} & \cdots & \b A_{2,m} \\ \b A_{3,1} & \b A_{3,2} & \b A_{3,3} & \cdots & \b A_{3,m} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \b A_{n,1} & \b A_{n,2} & \b A_{n,3} & \cdots & \b A_{n,m} \end{bmatrix}. $$

Transpos Matriks

Transpos matriks adalah sebuah operator yang mengubah setiap baris menjadi kolom, dan setiap kolom menjadi baris. Transpos matriks $M$ adalah $M^\top$.

Misalkan matriks $\b M$ adalah

$$ \b M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, $$

maka transpos matriks $\b M$ adalah

$$ \b M^\top = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}. $$

[!info] Sifat

  • $(\b A \b B)^\top = \b B^\top \b A^\top$

Penjumlahan Matriks

Syarat untuk menjumlahkan dua matriks adalah kedua matriks tersebut berukuran sama. Misalkan matriks $\b A_{n \times n}$, matriks $\b B_{n \times n}$, dan matriks $\b R = \b A + \b B$, maka

$$ \b R_{i,j} = \b A_{i,j} + \b B_{i,j}. $$

Sifat ini juga berlaku untuk pengurangan.

[!abstract] Penjumlahan Dua Matriks Misal matriks $\b A_{n \times m}$ dan matriks $\b B_{n \times m}$, maka $\b A + \b B$ adalah

$$ \begin{bmatrix} \b A_{1,1} & \b A_{1,2} & \cdots \\ \b A_{2,1} & \b A_{2,2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \b B_{1,1} & \b B_{1,2} & \cdots \\ \b B_{2,1} & \b B_{2,2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \b A_{1,1} + \b B_{1,1} & \b A_{1,2} + \b B_{1,2} & \cdots \\ \b A_{2,1} + \b B_{2,1} & \b A_{2,2} + \b B_{2,2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}. $$

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks dengan Bilangan

Misalkan matriks $\b M$, bilangan $k$, dan matriks $\b N$ sehingga $\b N = k \b M$, maka

$$ \b N_{i,j} = k \b M_{i,j}. $$

[!abstract] Perkalian Matriks dengan Bilangan Untuk matriks $\b M$ dan bilangan $k$, maka $k \b M$ adalah

$$ k \begin{bmatrix} \b M_{1,1} & \b M_{1,2} & \cdots \\ \b M_{2,1} & \b M_{2,2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k \b M_{1,1} & k \b M_{1,2} & \cdots \\ k \b M_{2,1} & k \b M_{2,2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}. $$

Perkalian Matriks dengan Matriks

Syarat untuk mengalikan dua matriks $\b A$ dan $\b B$ adalah banyak kolom matriks $\b A$ harus sama dengan banyak baris matriks $\b B$,

Misalkan hasil perkalian matriks $\b A$ dan $\b B$ adalah matriks $\b R$, maka $\b R$ berukuran $p \times r$.

$$ \b R_{i,j} = \b A_{i,1} \b B_{1,j} + \b A_{i,2} \b B_{2,j} + \cdots + \b A_{i,n} \b B_{n,j}. $$

Pada baris $i$ kolom $j$ matriks $\b C$, fokuslah pada baris $i$ pada matriks $\b A$ dan kolom $j$ pada matriks $\b B$.

[!warning] Perlu diperhatikan bahwa $AB$ tidak selalu sama dengan $BA$.

[!abstract] Perkalian Matriks 3×2 dengan Matriks 2×3 $$ \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} a_{1,1}b_{1,1} + a_{1,2}b_{2,1} & a_{1,1}b_{1,2} + a_{2,2}b_{2,2} & a_{1,1}b_{1,3} + a_{1,2}b_{2,3} \\ a_{2,1}b_{1,1} + a_{2,2}b_{2,1} & a_{2,1}b_{1,2} + a_{2,2}b_{2,2} & a_{2,1}b_{1,3} + a_{2,2}b_{2,3} \\ a_{3,1}b_{1,1} + a_{3,2}b_{2,1} & a_{3,1}b_{1,2} + a_{3,2}b_{2,2} & a_{3,1}b_{1,3} + a_{3,2}b_{2,3} \\ \end{bmatrix} $$

Determinan Matriks

Determinan matriks persegi $\b M$ ditulis sebagai $\det \b M$ atau $|\b M|$.

Untuk matriks $2 \times 2$, misalkan matriks $\b M$ adalah

$$ \b M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, $$

maka determinan matriks $\b M$ adalah

$$ |\b M| = ad - bc. $$

Misalkan $\b N$ adalah matriks $3 \times 3$,

$$ \b N = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}. $$

Tambah 2 kolom bantu di paling kanan, yaitu kolom 1 dan kolom 2,

$$ \b N' = \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|cc} a & b & c & a & b \\ d & e & f & d & e \\ g & h & i & g & h \end{array} \end{bmatrix} $$

Determinannya adalah jumlah diagonal-diagonal utama dikurang jumlah diagonal-diagonal sekundernya[^diagonal-sekunder],

[^diagonal-sekunder]: Diagonal dari kanan bawah ke kiri atas.

$$ |\b N| = (aei + bfg + cdh) - (gec + hfa + idb). $$

[!info] Sifat

  • $|\b A \b B| = |\b A| \cdot |\b B|$

Invers Matriks

Misalkan matriks persegi $\b M$ dan inversnya $\b M^{-1}$ sehingga

$$ \b M^{-1}\b M = \b M \b M^{-1} = \b I $$

di mana $\b I$ adalah matriks identitas.

[!info] Sifat

  • $(\b A \b B)^{-1} = \b B^{-1} \b A^{-1}$

Invers Matriks 2×2

Misalkan matriks $\b A$ adalah

$$ \b A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, $$

maka invers matriks $\b A$ adalah

$$ \b A^{-1} = \frac{1}{|\b A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}. $$

Invers Matriks 3×3

Misalkan matriks $\b M$ berukuran $3 \times 3$. Pertama-tama, kita cari minor dari matriks $\b M$, misalkan $\operatorname{minor}(\b M)$.

Minor dari suatu matriks adalah matriks berisi determinan-determinan dengan kolom dan baris yang hilang.

Misalkan $\operatorname{minor}(\b M)$,

$$ \operatorname{minor}(\b M) = \begin{bmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} \\ x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3} \end{bmatrix}. $$

Maka (sebagai contoh),

$$ x_{1,1} = \begin{vmatrix} \b M_{2,2} & \b M_{2,3} \\ \b M_{3,2} & \b M_{3,3} \end{vmatrix} $$

di mana baris 1 dan kolom 1 hilang ($\b M_{1,\square}$ dan $\b M_{\square,1}$).

Maka

$$ x_{1,3} = \begin{vmatrix} \b M_{2,1} & \b M_{2,2} \\ \b M_{3,1} & \b M_{3,2} \end{vmatrix}. $$

Setelah mencari $\operatorname{minor}(\b M)$, kita cari kofaktor dari matriks $\b M$, $\operatorname{cof}(\b M)$.

$$ \operatorname{cof}(\b M)_{i,j} = (-1)^{i+j} \times x_{i,j}. $$

Atau pada matriks $3 \times 3$,

$$ \operatorname{cof}(\b M) = \begin{bmatrix} x_{1,1} & -x_{1,2} & x_{1,3} \\ -x_{2,1} & x_{2,2} & -x_{2,3} \\ x_{3,1} & -x_{3,2} & x_{3,3}. \end{bmatrix} $$

Lalu, carilah adjugat[^adjugat] (atau adjoint) matriks $\b M$, $\operatorname{adj}(\b M)$.

[^adjugat]:Adjugat dari suatu matriks $\b M$ adalah transpos dari kofaktor matriks $\b M$. Atau dapat dibilang $$ \operatorname{adj}(\b M) = \operatorname{cof}(\b M)^\top $$

Maka invers matriks $\b M$ adalah

$$ \b M^{-1} = \frac{1}{|\b M|} \operatorname{adj}(\b M). $$

Sistem Persamaan Linear

Misalkan matriks $\b K$, vektor $\b x$, dan vektor $\b h$ sehingga

$$ \b K \b x = \b h, $$

maka

$$ \b x = \b K^{-1} \b h, $$

di mana

di mana

di mana $n$ adalah banyak variabel.

Misalkan persamaan

Ubah ke bentuk matriks,

$$ \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ 10 \end{bmatrix}. $$

Maka carilah invers dari matriks koefisien, sehingga

$$ \begin{align*} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 11 \\ 10 \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{-13} \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 11 \\ 10 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*} $$

Maka didapat hasilnya $x = 4$, dan $y = 1$.

Sifat-Sifat Operasi Matriks

Diketahui matriks $\b A, \b B, \b C$, dan bilangan $k, \ell \in \mathbb{R}$:

Misalkan matriks

$$ \b 0 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}. $$

Untuk $n, m \in \mathbb{N}$:

Untuk matriks $\b M, \b N$ yang memiliki invers: