Zafran P. W. Soal Final Ekshibisi Kompetisi Kecerdasan Artifisial 2025 3 1/7/2026
Soal Final Ekshibisi Kompetisi Kecerdasan Artifisial 2025
Zafran P. W. @zafranm2m January 7, 2026 3 0

I. Problem Solving

Aio berhasil merancang dua robot yang pintar bermain logika, bernama Robobar dan Robokol. Untuk menguji menguji kecerdasan logika keduanya. Aoi meminta kedua robot bermain teka-teka berikut ini.

Aio memiliki sebuah papan berukuran $6 \times 6$ petak. Papan ini terdiri dari 6 baris yang diberi label 1, 2, 3, 4, 5, dan 6; serta 6 kolom yang diberi label A, B, C, D, E, dan F. Pada papan tersebut juga terdapat beberapa bintang yang diletakkan sebagai berikut.

A B C D E F
1 ★ ★
2 ★ ★
3 ★ ★
4 ★ ★ ★
5 ★
6 ★ ★ ★

Aoi telah memilih tepat salah satu bintang secara rahasia, yang dinamakan Bintang Aoi. Aoi ingin kedua robot menemukan di mana letak Bintang Aio. Untuk membantu mereka, Aoi akan memberikan informasi berikut secara terpisah dan sembunyi-sembunyi.

Setelah itu, secara berurutan, terjadi percakapan antarkedua robot sebagai berikut.

Dengan mengasumsikan bahwa kedua robot Aoi dapat berpikir logis secara sempurna, di petak manakah sebenarnya letak Bintang Aoi? Jelaskan!

Catatan: Anda tetap akan mendapatkan nilai parsial meskipun pada akhirnya Anda tidak berhasil menemukan secara persis letak Bintang Aoi, namun berhasil mengeliminasi beberapa opsi yang tidak mungkin merupakan Bintang Aoi.

II. Decision Plot

Berikut adalah hasil visualisasi rule-based classifier sederhana dengan tiga kelas ($0$, $1$, dan $2$) berdasarkan dua fitur $(x_1, x_2)$.

(Gambar plot)

Soal 2.1. Tentukan kelas dari titik data yang berada pada koordinat $(8, 3)$.

Soal 2.2. Tentukan nilai $x_2$ yang berfungsi sebagai batas pemisah antara kelas $1$ dan kelas $2$. Tuliskan dua angka di belakang koma.

Soal 2.3. Diberikan list $\mathtt{data}$ berukuran $N = 8$ berikut.

$x_1$ $x_2$
5.86 3.62
0.53 6.51
9.50 5.93
5.69 7.46
6.28 6.20
2.53 1.52
6.42 0.85
9.29 4.36

Tentukan masing-masing

Soal 2.4. Jika sebuah titik dipilih secara acak $(0 \leq x_1, x_2 \leq 10)$, hitung probabilitas bahwa titik tersebut berada pada

Tuliskan dua angka di belakang koma.

III. Squared Hinge Loss

Tim balap DeltaRacing menganalisis deviasi lateral mobil terhadap racing line pada lima tikungan.

Deviasi lateral adalah jarak penyimpangan mobil secara horizontal dan jalur ideal (racing line). Nilai positif berarti mobil terlalu ke kenan, nilai negatif berarti berarti terlalu ke kiri, dan nilai nol berarti mobil tepat berada di jalur ideal.

Nilai deviasi (dalam meter) kita sebut $x$. Engineer memberi label biner sebagai berikut.

$$ y = \begin{cases} +1, \quad \text{keadaan berbahaya (deviasi terlalu besar)} \\ -1, \quad \text{keadaan aman (deviasi kecil)} \end{cases} $$

Singkatnya, berbahaya bisa terjadi jika mobil terlalu ke kiri atau terlalu ke kanan.

Data

Gunakan data berikut

$x$ $y$
$-2.1$ $+1$
$-0.7$ $-1$
$+0.2$ $-1$
$+0.8$ $-1$
$+2.2$ $+1$

Notasi dan Definisi

Model linear satu dimensi

$$ f(x) = wx + b, $$

di mana $w$ dan $b$ adalah bilangan riil, dan $y \in \{-1, +1\}$.

Squared hinge loss per sampel adalah

$$ \ell_i(w, b) = \max\{0, 1 - y_if(x_i)\}^2. $$

Loss rata-rata pada $n = 5$ data

$$ L(w, b) = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 \ell_i(w, b). $$

Aturan pembaruan gradient descent dengan laju belajar $\eta$

$$ w' = w - \eta \frac{\partial L}{\partial w}, \quad b' = b - \eta \frac{\partial L}{\partial b}. $$

Soal 3.1. Dengan $w = 0$ dan $b = 0$, hitung nilai $L(w, b)$ pada data di atas.

Soal 3.2. Turunkan $\frac{\partial L}{\partial w}$ dan $\frac{\partial L}{\partial b}$ untuk squared hinge loss pada model $f(x) = wx + b$. Jelaskan perhitungannya.

Soal 3.3. Lakukan satu langkah gradient descent dengan $\eta = 1$ dari $w = 0$ dan $b = 0$. Nyatakan parameter hasil update $(w, b)$ dan nilai loss-nya setelah update.

Soal 3.4. Nilai loss model saat ini masih $L > 0$. Jika langkah gradient descent dilanjutkan berkali-kali, apakah bisa mencapai $L = 0$? Jelaskan alasan Anda secara konseptual.

Soal 3.5. Sekarang ganti fitur menjadi $z = x^2$ dan model menjadi $f(z) = wz + b$. Apakah mungkin mencapai $L = 0$? Jelaskan alasan Anda secara singkat.

Soal 3.6. Notasi iterasi. Gunakan notasi $w^{(t)}$ dan $b^{(t)}$ untuk menyatakan parameter setelah $t$ pembaruan gradient descent. Misal $w^{(1)}$ adalah setelah satu pembaruan.

Mulai dari $w^{(0)} = 0$ dan $b^{(0)}$ pada ruang fitur $z = x^2$ seperti Soal 5 dan gunakan $\eta = 1$. Lakukan gradient descent sebanyak 2 iterasi dan hitung $w^{(t)}$, $b^{(t)}$, dan $L\left(w^{(t)}, b^{(t)}\right)$ untuk $t = 1$ dan $t = 2$.

IV. Probability

Dalam bidang Kecerdasan Buatan, sebuah model dapat memprediksi kata berikutnya dalam sebuah kalimat berdasarkan pola probabilitas. Prinsip dasarnya sama dengan teori peluang: menghitung kemungkinan suatu kejadian berdasarkan data sebelumnya.

Misalnya, jika dalam banyak kalimat berbahasa Indonesia kata saya sering diikuti kata makan, maka peluang munculnya kata makan setelah saya akan lebih tinggi dibanding kata lain. Konsep ini mirip dengan statistik frekuensi kata, yang dapat dianalisis dengan aturan peluang bersyarat (conditional probability).

Seorang arkeolog menemukan naskah bahasa kuno yang akan dianalisis polanya menggunakan sebuah model. Ia juga menemukan bahwa kemunculan sebuah kata hanya bergantung pada kata sebelumnya, dan tidak pada kata-kata lebih awal. Sang arkeolog mencatat frekuensi urutan kata sebagai berikut.

Soal 4.1. Pada suatu naskah, ada kalimat di mana kata pertama disembunyikan, dan hanya kata kedua yang terlihat.

Soal 4.2. Arkeolog kemudian mengambil secara acak 10 kalimat dari naskah. Diketahui bahwa setiap kalimat tersebut memiliki kata kedua domi. Berapakah peluang bahwa tepat 6 kalimat memiliki kata pertama lura?

V. Feature Extraction

Dalam sebuah eksperimen computer vision, setiap gambar disimpan sebagai matriks biner berukuran $5 \times 5$, di mana nilai $1$ menandai piksel berwarna putih dan nilai $0$ menandai piksel berwarna hitam.

Pada eksperimen tersebut, dua buah gambar dipilih menjadi acuan (anchor), yakni $A_1$ dan $A_2$. Selain itu, eksperimen tersebut juga memiliki sepuluh gambar uji, $T_1$, $T_2$, ..., $T_{10}$, di mana setiap gambar uji pasti berasal dari salah satu kelas $A_1$ atau $A_2$. Perhatikan bahwa gambar uji mungkin mengalami rotasi, pergeseran, atau kesalahan akibat noise.

Anda diberi tugas oleh ketua peneliti untuk merancang fitur-fitur numerik sederhana dari matriks dan menggunakannya untuk menentukan anchor mana yang paling sesuai bagi tiap gambar uji.

Contoh Ekstraksi Fitur

Sebuah fitur sederhana bernama kolom penuh bernilai satu menandakan kelima entri pada kolom tersebut bernilai $1$. Secara formal, kolom ke-$j$ disebut penuh jika

$$ \sum_{i=1}^5 M_{i,j} = 5. $$

Tentu, baris penuh bernilai nol dapat dihitung menggunakan rumus

$$ \sum_{j=1}^5 M_{i,j} = 0. $$

Anda bebas mendefinisikan fitur sederhana lain yang berguna, selama dihitung langsung dari entri-entri matriks.

Soal 5.1. Untuk setiap gambar uji $T_i$ putuskan apakah ia termasuk kelas $A_1$ atau $A_2$.

Soal 5.2. Daftarkan fitur-fitur yang benar-benar Anda gunakan saat membuat keputusan.

Soal 5.3. Tuliskan aturan keputusan Anda secara tepat dalam kalimat atau rumus singkat. Jelaskan bagaimana label $A_1$ atau $A_2$ dipilih untuk tiap-tiap $T_i$ saat diberikan nilai-nilai fitur-fitur yang sudah Anda buat.

Anchors

$$ \begin{gather*} A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \\

A_2 = \\begin{bmatrix}
    1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\
    0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\
    1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\
    0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\
    1 & 0 & 1 & 0 & 1
\\end{bmatrix}

\end{gather*} $$

Tests

[TODO]

VI. Confusion Matrix

Binary Classification Overview

Dalam masalah klasifikasi biner, model AI memberikan skor antara $0$ sampai $1$ untuk setiap data. Skor ini menunjukkan seberapa besar kemungkinan data tersebut termasuk ke kelas positif (misalnya pasien sakit). Untuk mengambil keputusan, kita menentukan treshold (ambang batas). Jika treshold adalah $0.5$, maka data dengan skor yang lebih besar dari $0.5$ diklasifikasi sebagai positif, sisanya negatif. Pemilihan treshold harus disesuaikan dengan konteks nyata, terutama saat data tidak seimbang. Evaluasi model dilakukan menggunakan berbagai metrik berikut.

Struktur Confusion Matrix

Prediksi Positif Prediksi Negatif
Aktual Positif True Positive $(\mathrm{TP})$ False Negative $(\mathrm{FN})$
Aktual Negatif False Positive $(\mathrm{FP})$ True Negative $(\mathrm{TN})$

Metrik Evaluasi

Sebuah rumah sakit sedang mengembangkan sistem AI untuk membantu dokter dalam mendeteksi penyakit langka namun berbahaya berdasarkan hasil tes darah. Sistem AI ini memberikan diagnosis awal, berupa dua kemungkinan.

  1. Sakit (Positif).
  2. Sehat (Negatif).

Kondisi penyakit ini sangat langka. Secara statistik, dari 1000 pasien yang diperiksa,

Setelah dilakukan pengujian awal terhadap sistem AI, ditemukan dua masalah kritis sebagai berikut.

Rumah sakit membutuhkan cara untuk mengukur performa sistem AI secara adil sehingga kedua jenis kesalahan di atas dapat diperhatikan secara seimbang. Metrik evaluasi apa yang paling tepat digunakan untuk mengukur kinerja sistem AI ini agar kedua masalah tersebut dapat diminimalkan? Jelaskan alasanmu.

VII. Matrices

Perhatikan beberapa konsep dan definisi terkait matriks berikut. $\newcommand{\v}[1]{\mathbf{#1}}$

Vektor eigen dan nilai eigen. Misal ada sebuah matriks persegi berukuran $n \times n$, $A$, dan juga ada sebuah vektor tidak kosong $\v v$ yang mempunyai panjang $n$. Jika persamaan

$$ A \v v = \lambda \v v $$

terpenuhi, dengan $\lambda$ adalah sebuah skalar, maka $\v v$ disebut dengan vektor eigen (eigenvector) dan $\lambda$ disebut sebagai nilai eigen (eigenvalue).

Sebagai contoh, untuk matriks

$$ A = \begin{bmatrix} -6 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}, $$

ada dua pasang vektor eigen dan nilai eigen dari $A$, yaitu

$$ \begin{gather*} \v v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad \lambda_1 = 6; \\ \v v_2 = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \lambda_2 = -7. \end{gather*} $$

Jadi, vektor eigen dan nilai eigen dari sebuah matriks bersifat tidak unik atau bisa lebih dari satu pasang. Dalam Aljabar Linear, proses perkalian matriks dengan vektor seperti $A\v v$ sebenarnya disebut dengan transformasi linier, yaitu melakukan pemindahan vektor $\v v$ ke ruang vektor lain dengan tetap menjaga struktur liniernya. Dalam konteks vektor eigen, vektor eigen adalah sebuah vektor yang jika dilakukan transformasi linier dengan matriks $A$, ia tidak berubah arah, hanya memanjang atau memendek saja.

Matriks diagonal. Sebuah matriks persegi $A$ adalah matriks diagonal jika sebuah entri bernilai $0$ kecuali bagian diagonal utama. Berikut adalah beberapa contoh matriks diagonal.

$$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}. $$

Diagonalisasi matriks. Matriks persegi $A$ berukuran $n \times n$ dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika terdapat matriks singular (memiliki inverse) $P$ sehingga

$$ A = PDP^{-1}, $$

dengan $D$ adalah matriks diagonal.

Soal 7.1. Carilah vektor eigen dan nilai eigen dari matriks

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}. $$

Petunjuk.

$$ \begin{align*} A \v v &= \lambda \v v \\ A \v v - \lambda \v v &= \v 0 \\ (A - \lambda I) \v v &= \v 0 \end{align*} $$

Karena $\v v$ bukanlah vektor $\v 0$, maka

$$ |A - \lambda I| = 0, $$

di mana

Soal 7.2. Buktikan bahwa jika sebuah matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dapat didiagonalisasi dengan $A = PDP^{-1}$ atau jika dijabarkan,

$$ \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{1,1} & p_{1,2} \\ p_{2,1} & p_{2,2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{1,1} & p_{1,2} \\ p_{2,1} & p_{2,2} \end{bmatrix}^{-1}, $$

di mana $\begin{bmatrix} p_{1,1} \\ p_{2,1} \end{bmatrix}$ dan $d_1$; serta $\begin{bmatrix} p_{1,2} \\ p_{2,2} \end{bmatrix}$ dan $d_2$ adalah pasangan vektor eigen dan nilai eigen dari matriks $A$.

Pembuktian. Untuk nilai eigen $d_1$, didapati

$$ A \begin{bmatrix} p_{1,1} \\ p_{2,1} \end{bmatrix} = d_1 \begin{bmatrix} p_{1,1} \\ p_{2,1} \end{bmatrix}. $$

Bila dijabarkan,

$$ \begin{align*} \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{1,1} \\ p_{2,1} \end{bmatrix} &= d_1 \begin{bmatrix} p_{1,1} \\ p_{2,1} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a_{1,1} p_{1,1} + a_{1,2} p_{2,1} \\ a_{2,1} p_{1,1} + a_{2,2} p_{2,1} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} d_1 p_{1,1} \\ d_1 p_{2,1} \end{bmatrix} \end{align*} $$

Sekarang, untuk nilai eigen $d_2$, didapati

$$ A \begin{bmatrix} p_{1,2} \\ p_{2,2} \end{bmatrix} = d_2 \begin{bmatrix} p_{1,2} \\ p_{2,2} \end{bmatrix}. $$

Jabarkan seperti sebelumnya,

$$ \begin{align*} \begin{bmatrix} a_{1,1} p_{1,2} + a_{1,2} p_{2,2} \\ a_{2,1} p_{1,2} + a_{2,2} p_{2,2} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} d_2 p_{1,2} \\ d_2 p_{2,2} \end{bmatrix} \end{align*} $$

Jika kedua vektor sama, maka entri-entri yang bersesuaian tentu sama.

$$ \begin{cases} a_{1,1} p_{1,1} + a_{1,2} p_{2,1} = d_1 p_{1,1} \\ a_{2,1} p_{1,1} + a_{2,2} p_{2,1} = d_1 p_{2,1} \\ a_{1,1} p_{1,2} + a_{1,2} p_{2,2} = d_2 p_{1,2} \\ a_{2,1} p_{1,2} + a_{2,2} p_{2,2} = d_2 p_{2,2} \end{cases} $$

Pada persamaan $A = PDP^{-1}$, kalikan matriks $P$ kedua sisi. Menjadi $AP = PDP^{-1}P$, karena $P^{-1}P = I$, maka $AP = PD$. Bila dijabarkan,

$$ \begin{align*} \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{1,1} & p_{1,2} \\ p_{2,1} & p_{2,2} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} p_{1,1} & p_{1,2} \\ p_{2,1} & p_{2,2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a_{1,1} p_{1,1} + a_{1,2} p_{2,1} & a_{1,1} p_{1,2} + a_{1,2} p_{2,2} \\ a_{2,1} p_{1,1} + a_{2,1} p_{2,1} & a_{2,1} p_{1,2} + a_{2,2} p_{2,2} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} d_1 p_{1,1} & d_2 p_{1,2} \\ d_1 p_{2,1} & d_2 p_{2,2} \end{bmatrix}. \end{align*} $$

Entri-entri pada matriks di ruas kiri dapat disubstitusikan seperti persamaan-persamaan di atas, menjadi sama dengan ruas kanan.